2023考研数学-浅析如何利用定积分定义求极限

1、定积分的定义

设函数在区间上有界，在内任意插入个分点，，这样就被分为了个小区间，用表示各区间的长度，再在每个区间上取一作如下和式令，如果极限存在且与的划分及的选取无关，则称在区间上可积，该极限称之为在区间上的定积分，记作。即：

其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和积分上限。

注：1)几何意义：在几何上表示为由曲线，直线及轴围成的曲边梯形面积的代数和。

2)定积分定义的思想方法称之为“微元法”，它是我们用定积分计算几何及物理量的积分思路，其步骤可以总结为：分割、近似、求和、取极限。

3)定积分的本质是极限。

4)常用的定积分可以用牛顿——莱布尼兹公式很容易求到，这样用定积分定义求极限就成为求极限的一种重要方法。

2、定积分定义求极限的“特化”

当定积分存在时，一般化的定积分定义形式复杂，不易求得极限，此时区间及的选取将决定极限的形式是否容易求。

的划分特化：当在，把分成等份， ，得到个长度都为，此时无需引入参数，只需即可表示每个小区间足够小。

的选取特化：

1. 取区间右端点，此时，可得极限。

2. 取区间左端点，此时，可得极限。

3. 取区间算术中点，此时，可得极限。

4. 取区间几何中点，此时，可得极限。

以上就是常用的取值技巧，大家一定要学会灵活应对。

3、定积分定义求极限的考察题型

在研究生入学试题中，题目一般以两种题型出现，一个是直接将和式极限问题凑成定积分特化之后的形式;另一个是与夹逼准则的综合应用。

3.1 直接凑定积分的定义

例1 求

答案：

解析：原式=

分析：直接利用定积分特化之后的基础公式，关键在与如何将和式极限转化为，从而利用定积分定义计算出极限值。

3.2 定积分定义与夹逼准则的综合运用

例2 计算极限

答案：

解析：首先利用夹逼准则进行简单的放缩：，

左边：

右边：，且，故和式极限

为

分析：(1)此题直接凑不成定积分定义，可先使用夹逼准则进行简单的放缩之后再用定积分的定义进行求解;

(2)注意：在计算个分母互不相同的分式之和的极限时，如果最大的分母和最小的分母相除所得分式的极限等于1，则使用夹逼准则进行计算;如果最大的分母和最小的分母相除所得分式的极限不等于1，则凑成定积分的定义进行计算。

以上就是如何利用定积分的定义求极限具体的应用技巧，首先需要理解定积分定义的推导过程，在具体求极限的时候所用的“特化”之处，并且区分什么时候和式极限用夹逼准则，什么时候用定积分的定义，多总结方法，从题目中总结内容规律，达到游刃有余的效果。

最后，中公考研预祝同学们取得理想成绩。