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2023考研数学-浅析如何利用定积分定义求极限

发布日期:2022-02-08 10:56:35  来源:上海中公考研

   利用定积分定义求极限是考研数学中对极限考查的重点题型,使用定积分定义将会大幅度简化极限的运算,是计算极限的重要方法。我们需要掌握定积分定义的本质,并且梳理清楚定积分定义在求极限中的应用技巧。那我们今天就利用定积分定义极求极限进行分析。

1、定积分的定义

设函数在区间上有界,在内任意插入个分点,,这样就被分为了个小区间,表示各区间的长度,再在每个区间上取一作如下和式,如果极限存在且与的划分及的选取无关,则称在区间上可积,该极限称之为在区间上的定积分,记作。即:

其中称为被积函数,称为积分变量,称为积分区间,分别称为积分下限和积分上限。

注:1)几何意义:在几何上表示为由曲线,直线轴围成的曲边梯形面积的代数和。

2)定积分定义的思想方法称之为“微元法”,它是我们用定积分计算几何及物理量的积分思路,其步骤可以总结为:分割、近似、求和、取极限。

3)定积分的本质是极限。

4)常用的定积分可以用牛顿——莱布尼兹公式很容易求到,这样用定积分定义求极限就成为求极限的一种重要方法。

2、定积分定义求极限的“特化”

当定积分存在时,一般化的定积分定义形式复杂,不易求得极限,此时区间及的选取将决定极限的形式是否容易求。

的划分特化:当在,把分成等份, ,得到个长度都为,此时无需引入参数,只需即可表示每个小区间足够小。

的选取特化:

1. 取区间右端点,此时,可得极限

2. 取区间左端点,此时,可得极限

3. 取区间算术中点,此时,可得极限

4. 取区间几何中点,此时,可得极限

以上就是常用的取值技巧,大家一定要学会灵活应对。

3、定积分定义求极限的考察题型

在研究生入学试题中,题目一般以两种题型出现,一个是直接将和式极限问题凑成定积分特化之后的形式;另一个是与夹逼准则的综合应用。

3.1 直接凑定积分的定义

例1 求

答案:

解析:原式=

分析:直接利用定积分特化之后的基础公式,关键在与如何将和式极限转化为,从而利用定积分定义计算出极限值。

3.2 定积分定义与夹逼准则的综合运用

例2 计算极限

答案:

解析:首先利用夹逼准则进行简单的放缩:

左边:

右边:,且,故和式极限

分析:(1)此题直接凑不成定积分定义,可先使用夹逼准则进行简单的放缩之后再用定积分的定义进行求解;

(2)注意:在计算个分母互不相同的分式之和的极限时,如果最大的分母和最小的分母相除所得分式的极限等于1,则使用夹逼准则进行计算;如果最大的分母和最小的分母相除所得分式的极限不等于1,则凑成定积分的定义进行计算。

以上就是如何利用定积分的定义求极限具体的应用技巧,首先需要理解定积分定义的推导过程,在具体求极限的时候所用的“特化”之处,并且区分什么时候和式极限用夹逼准则,什么时候用定积分的定义,多总结方法,从题目中总结内容规律,达到游刃有余的效果。

最后,中公考研预祝同学们取得理想成绩。

   以上是上海中公考研网小编为大家整理的“2023考研数学-浅析如何利用定积分定义求极限”相关内容,更多考研相关内容尽在上海中公考研数学频道。

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