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2023考研数学-浅析如何计算级数的收敛半径及收敛域

发布日期:2022-02-08 11:29:34  来源:上海中公考研

   幂级数这一部分的知识点是我们考研数学数学一与数学三所要求的知识点,属于无穷级数的范畴,同时也是由常数项级数推广而来的,考试主要侧重于数学三的考生,考察的题型主要是收敛性的判断与幂级数的求和与展开,其中判断敛散性的知识点就必须要用到幂级数收敛半径与收敛域的计算。

幂级数这一部分的知识点是我们考研数学数学一与数学三所要求的知识点,属于无穷级数的范畴,同时也是由常数项级数推广而来的,考试主要侧重于数学三的考生,考察的题型主要是收敛性的判断与幂级数的求和与展开,其中判断敛散性的知识点就必须要用到幂级数收敛半径与收敛域的计算。

一.收敛域的前身-阿贝尔定理

处收敛,则时级数绝对收敛

处发散,则时级数发散

也就是说幂级数有个中心,只要点到中心的距离小于收敛点到中心的距离都是收敛的。

二.收敛半径与收敛域的定义

对于任意级数都存在唯一的非负实数,使得:当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;,级数可能收敛也可能发散,那么这个非负实数称为幂级数的收敛半径,同时将开区间称之为幂级数的收敛区间。

另外从这个定义中我们也不难发现,收敛区间是关于对称的。

同时由定义可知,如果幂级数的收敛半径为,则幂级数的收敛域就只可能是四种中的一种,确定了收敛半径之后,只需要再将收敛区间的端点代入,判断出收敛性之后即可得到收敛域。

三.收敛半径的计算公式

主要分为比值判定法和根值判定法两种

对于幂级数,用公式,则。当幂级数有缺项时,也即幂级数形式为时应计算,通过不等式解出幂级数的收敛区间。

用公式,则。当幂级数有缺项时,也即幂级数形式为时应改为

例. 设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为多少?

解:与题目中对照,收敛半径为3,又因为的收敛半径相同,则的收敛半径也为3对照可得收敛区间为(-2,4)。

以上就是无穷级数中幂级数收敛半径与收敛域计算的全部知识点,常在大题中作为工具出现,需要各位考生牢记公式并学会灵活运用,再结合高等数学所学的其他知识点,找到各个知识点之间的关系和纽带,进而灵活运用,最后祝各位考生金榜题名。

   以上是上海中公考研网小编为大家整理的“2023考研数学-浅析如何计算级数的收敛半径及收敛域”相关内容,更多考研相关内容尽在上海中公考研数学频道。

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